Análisis Dinámico de un Mecanismo de Retorno Rápido de un Cepillo.

El objetivo de este primer proyecto es realizar el análisis dinámico de un mecanismo de retorno rápido de un cepillo. Un cepillo o “planear” es una maquina herramienta empleada para producir superficies planas en piezas mecánicas. Existen dos tipos de cadenas cinemáticas que se emplean para diseñar cepillos.

Primer Ejemplo de la Cadena Cinemática de un Mecanismo de Retorno Rápido de un Cepillo.

La primera cadena cinemática se muestra en la figura 1.

La ecuaciones de lazo del mecanismo de retorno rápido de un cepillo mostrado en la figura 1 están dadas por

a1 + a2 = a4 y b1 + a6 = a2 +b4 + a5 (1)

Si se seleccionan los ´ángulos asociados a los vectores, θ2, θ4 y θ5, a partir del semieje positivo X, las

Componentes escalares de la ecuación (1), a lo largo de los ejes X y Y están dadas por

a1 Cθ1 + a2 Cθ2 = a4 Cθ4 (2)

a1 Sθ1 + a2 Sθ2 = a4 Sθ4 (3)

b1 Cθ1 + a6 Cθ6 = a2 Cθ2 + b4 Cθ4 + a5 Cθ5 (4)

b1 Sθ1 + a6 Sθ6 = a2 Sθ2 + b4 Sθ4 + a5 Sθ5 (5)

Debe notarse que algunos de los ´angulos tienen valores muy simples, por ejemplo

θ1 = 90◦ y θ6 = 0◦,

que conviene sustituir, de manera que las ecuaciones se reducen a

a2 Cθ2 = a4 Cθ4 (6)

a1 + a2 Sθ2 = a4 Sθ4 (7)

a6 = a2 Cθ2 + b4 Cθ4 + a5 Cθ5 (8)

b1 = a2 Sθ2 + b4 Sθ4 + a5 Sθ5 (9)

Los parámetros del mecanismo son a1, a2, a5, y b1, mientras que las variables son θ2, θ4, θ5, a4, a6 y b4. Sin embargo, las longitudes a4 y b4 están relacionadas por la ecuación

a4 + b4 = l4

Donde l4 es otro parámetro. A fın de reducir el numero de ecuaciones, se sustituir  la ecuación

b4 = l4 − a4.

Por lo tanto, las ecuaciones se reducen a

a2 Cθ2 = a4 Cθ4

a1 + a2 Sθ2 = a4 Sθ4

a6 = a2 Cθ2 + (l4 − a4) Cθ4 + a5 Cθ5

b1 = a2 Sθ2 + (l4 − a4) Sθ4 + a5 Sθ5 (10)

Finalmente, si el eslabón motriz es el eslabón 2, el ´Angulo θ2 aun cuando es una variable, es un dato necesario y conocido para realizar el analisis de posición, de modo que las cuatro ecuaciones (10) cuya solución constituye el análisis de posición están dadas por

f1(a4, θ4, θ5, a6) = a2 Cθ2 − a4 Cθ4 = 0 (11)

f2(a4, θ4, θ5, a6) = a1 + a2 Sθ2 − a4 Sθ4 = 0 (12)

f3(a4, θ4, θ5, a6) = a6 − a2 Cθ2 − (l4 − a4) Cθ4 − a5 Cθ5 = 0 (13)

f4(a4, θ4, θ5, a6) = b1 − a2 Sθ2 − (l4 − a4) Sθ4 − a5 Sθ5 = 0 (14)

Estas ecuaciones constituyen un sistema de cuatro ecuaciones no lineales en las incógnitas a4, θ4, θ5, y a6. La solución de este sistema constituye el análisis de posición del mecanismo de retorno rápido.

Segundo Ejemplo de la Cadena Cinemática de un Mecanismo de Retorno

Rápido de un Cepillo.

La segunda cadena cinemática se muestra en la figura 2.

La ecuaciones de lazo del mecanismo de retorno rápido de un cepillo mostrado en la figura 1 están dadas por

a1 + a2 = a4 y b1 + a6 = a2 +b4 (15)

Si se seleccionan los ´ángulos asociados a los vectores, θ2 y θ4, a partir del semieje positivo X, las componentes escalares de la ecuación (15), a lo largo de los ejes X y Y están dadas por

a1 Cθ1 + a2 Cθ2 = a4 Cθ4 (16)

a1 Sθ1 + a2 Sθ2 = a4 Sθ4 (17)

b1 Cθ1 + a6 Cθ6 = a2 Cθ2 + b4 Cθ4 (18)

b1 Sθ1 + a6 Sθ6 = a2 Sθ2 + b4 Sθ4 (19)

Debe notarse que algunos de los ´ángulos tienen valores muy simples, por ejemplo

θ1 = 90◦ y θ6 = 0◦, que conviene sustituir, de manera que las ecuaciones se reducen a

a2 Cθ2 = a4 Cθ4

a1 + a2 Sθ2 = a4 Sθ4

a6 = a2 Cθ2 + b4 Cθ4

b1 = a2 Sθ2 + b4 Sθ4 (20)

Los parámetros del mecanismo son a1, a2, a5, y b1, mientras que las variables son θ2, θ4, a4, a6 y

b4. Sin embargo, a diferencia de la primera cadena cinemática, en esta cadena las longitudes a4 y b4 son independientes y no es necesario introducir una nueva sustitución.

Finalmente, si el eslabón motriz es el eslabón 2, el ´Angulo θ2 aun cuando es una variable, es un dato necesario y conocido para realizar el análisis de posición, de modo que las cuatro ecuaciones (20) cuya solución constituye el análisis de posición están dadas por

f1(a4, θ4, b4, a6) = a2 Cθ2 − a4 Cθ4 = 0 (21)

f2(a4, θ4, b4, a6) = a1 + a2 Sθ2 − a4 Sθ4 = 0 (22)

f3(a4, θ4, b4, a6) = a6 − a2 Cθ2 − b4 Cθ4 = 0 (23)

f4(a4, θ4, b4, a6) = b1 − a2 Sθ2 − b4 Sθ4 − a5 Sθ5 = 0 (24)

Estas ecuaciones constituyen un sistema de cuatro ecuaciones no lineales en las incógnitas a4, θ4, θ5, y a6. La solución de este sistema constituye el análisis de posición del mecanismo de retorno rápido.